La science et l'hypothèse

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PREMIERE PARTIE. Le Nombre et la Grandeur. Chapitre 1 sur la Nature du Raisonnement Mathématique. La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductible qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. Admettra t-on donc que les énoncés de tous ces théorèmes qui remplissent tant de volumes ne soient que des manières détournées de dire que A est A ? Sans doute, on peut remonter aux axiomes qui sont à la source de tous les raisonnements. Si on juge qu'on ne peut les réduire au principe de contradiction, si on ne veut pas non plus y voir des faits expérimentaux qui ne pourraient participer à la nécessité mathématique, on a encore la ressource de les classer parmi les jugements synthétiques a priori. Ce n'est pas résoudre la difficulté, c'est seulement la baptiser; et lors même que la nature des jugements synthétiques n'aurait plus pour nous de mystère, la contradiction ne se serait pas évanouie, elle n'aurait fait que reculer; le raisonnement syllogistique reste incapable de rien ajouter aux données qu'on lui fournit; ces données se réduisent à quelques axiomes et on ne devrait pas retrouver autre chose dans les conclusions.........................